Discusión:Límite de una función

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Definición formal La imagen de ejemplo tiene pinta de estar dibujada con Paint. Alguien puede editar otra con Matlab, Maple, Derive...? Límite de una función en un punto Algunas veces, el límite también se define considerando valores de x distintos de p (lo que sería un límite relativo usando la definición dada -i.e., un límite considerando una restricción del dominio-). Para esta definición se tiene que: $\lim _{x\to p}f(x)=L\Leftrightarrow \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\ 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ esto es un caso particular de funciones en espacios métricos en los que tanto M como N son números reales. O escribimos: $\lim _{x\to p}f(x)=\infty$ sí y sólo si para cada R > 0 existe un δ > 0 tal que para todos los números reales x con 0 < |x-p| < δ, se obtiene que f(x) > R; O escribimos: $\lim _{x\to p}f(x)=-\infty$ sí y sólo si para cada R < 0 existe un δ > 0 tal que para cualquier número real x with 0 < |x-p| < δ, se obtiene que f(x) < R. Esta definición se puede simplificar usando el concepto de Proximidad, que también permite expresiones como $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$. Escribimos: $\lim _{x\to p}f(x)=L$ donde: $x\in {\overline {\mathbb {D} }}$ y $p;L\in {\tilde {\mathbb {R} }}$ sí y sólo si $\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\ x\in B_{\delta }(p)\Rightarrow f(x)\in B_{\varepsilon }(L)$ Si, en las definiciones se utiliza x-p en lugar de |x-p|, entonces tenemos el límite lateral por la derecha, cuya notación es limx→p+. Si se utiliza p-x, entonces se tiene el límite lateral por la izquierda, cuya notación es limx→p-. Consultar la entrada principal one-sided limit. ... Sometimes, the limit is also defined considering for x values different from p. (which would be a relative limit - that is, a limit considering a restriction to the domain - using the already given definition). For such definition we have: $\lim _{x\to p}f(x)=L\Leftrightarrow \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\ 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$ It is just a particular case of functions on metric spaces, with both M and N are the real numbers. Or we write $\lim _{x\to p}f(x)=\infty$ if and only if for every R > 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < |x-p| < δ, we have f(x) > R; or we write $\lim _{x\to p}f(x)=-\infty$ if and only if for every R < 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < |x-p| < δ, we have f(x) < R. This definition can be condensed by using the concept of Neighbourhood, which also allows expressions such as $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$. We write $\lim _{x\to p}f(x)=L$ (where $x\in {\overline {\mathbb {D} }}$ and $p;L\in {\tilde {\mathbb {R} }}$) if and only if $\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\ x\in B_{\delta }(p)\Rightarrow f(x)\in B_{\varepsilon }(L)$ If, in the definitions, x-p is used instead of |x-p|, then we get a right-handed limit, denoted by limx→p+. If p-x is used, we get a left-handed limit, denoted by limx→p-. See main article one-sided limit. Limit of function at infinity Limit of a function at infinity exists if, for every ε > 0 there exists a S > 0 ; so that |f(x)-L| < ε for all x > S. Suppose f(x) is a real-valued function. We can also consider the limit of function when x increases or decreases indefinitely. We write $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ if and only if for every ε > 0 there exists S >0 such that for all real numbers x>S, we have |f(x)-L|<ε or we write $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ for every R > 0 there exists S >0 such that for all real numbers x>S, we have f(x)>R. Similarly, we can define the expressions $\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty ,\lim _{x\to -\infty }f(x)=L,\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. There are three basic rules for evaluating limits at infinity for a rational function f(x) = p(x)/q(x): If the degree of p is greater than the degree of q, then the limit is positive or negative infinity depending on the signs of the leading coefficients If the degree of p and q are equal, the limit is the leading coefficient of p divided by the leading coefficient of q If the degree of p is less than the degree of q, the limit is 0 If the limit at infinity exists, it represents a horizontal asymptote at x = L. Polynomials do not have horizontal asymptotes; they may occur with rational functions. Complex-valued functions The complex plane with metric $d(x,y):=|x-y|$ is also a metric space. There are two different types of limits when we consider complex-valued functions. Limit of a function at a point Suppose f is a complex-valued function, then we write $\lim _{x\to p}f(x)=L$ if and only if for every ε > 0 there exists a δ >0 such that for all real numbers x with 0<|x-p|<δ, we have |f(x)-L|<ε It is just a particular case of functions over metric spaces with both M and N are the complex plane. Limit of a function at infinity We write $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ if and only if for every ε > 0 there exists S >0 such that for all complex numbers |x|>S, we have |f(x)-L|<ε test Limit of a function of more than one variable By noting that |x-p| represents a distance, the definition of a limit can be extended to functions of more than one variable. $\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L$ if and only if for every ε > 0 there exists a δ > 0 such that for all real numbers x with 0 < ||(x,y)-(p,q)|| < δ, we have |f(x,y)-L| < ε where ||(x,y)-(p,q)|| represents the Euclidean distance. This can be extended to any number of variables.

Definiciones complejas

La definicion del tema se puede notar que esta muy complejo para un niño. Falta como menos teoria y mas ejemplos sencillos. — El comentario anterior es obra de 190.27.74.82 (disc. · contr. · bloq.), quien olvidó firmarlo. Farisori » 04:46 20 may 2009 (UTC)

Ciertamente no es un concepto accesible a un niño cualquiera, es un concepto muy profundo y con muchas sutilezas. Se puede dar una idea informal, pero rebajar el nivel general de la entrada haría que ésta contuviera ambigüedades y errores, además de que dejaría de cumplir su cometido de proporcionar la información a quienes ya están estudiando estos temas. --Usuario:drini 01:27 20 feb 2010 (UTC)

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Buenas tardes... en el tema falto una inderminacion y es: 0(al infinito) — El comentario anterior sin firmar es obra de Qebm (disc. • contribs • bloq). Farisori » 20:57 22 nov 2010 (UTC)

Respuesta

Es cero, por ejemplo $\lim _{x\to \infty }\left({\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{x}}}=0$.

En general, dadas dos funciones que cumplen $\lim _{x\to c}f(x)=0\land \lim _{x\to c}g(x)=\infty$, con $f(x)>0$, entonces $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=0$, para «demostrar» esto utlizamos un artificio que consiste en aplicar propiedades de potencia y división:

$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}\left\{\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]^{-g(x)}\right\}$

luego aplicando propiedades de límites se tiene

$\lim _{x\to c}\left\{\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]^{-g(x)}\right\}=\lim _{x\to c}\left\{{\frac {1}{f(x)}}\right\}^{-\lim _{x\to c}g(x)}=0$

con lo cual no creo que sea indeterminación. Corríjanme, puedo estar equivocado. FedeBosio (discusión) 21:56 24 dic 2014 (UTC)

De hecho la afirmación es válida pero no está bien demostrada, se demuestra en realidad con el truco del logaritmo y la exponencial

$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}e^{g(x)\cdot \ln f(x)}=0$ puesto que $\ln f(x)\to -\infty$ y $g(x)\to \infty$.

Pido disculpas, puedo haber provocado confusión.

Felices fiestas para todos. FedeBosio (discusión) 22:46 24 dic 2014 (UTC)

Dominio de $\ln x$ es $(0,+\infty )\Rightarrow f(x)>0$.--Marianov (discusión) 16:54 29 dic 2014 (UTC)

Tal cual, lo que comenté sólo es válido cuando $f(x)>0$ sin embargo para $f(x)\equiv 0$ no hay indeterminación, ni límite que calcular, puesto que es constantemente cero. Si $f(x)<0$ usamos otro truco, multiplicar y dividir por menos uno, y utiliza la misma propiedad que antes, junto con la de límite de la constante. Así:

$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}\left\{{\frac {-1}{-1}}f(x)^{g(x)}\right\}=-\lim _{x\to c}\left\{\left[-f(x)\right]^{g(x)}\right\}=0$

por ser cero el límite calculado antes (ante la duda designar $h(x)=-f(x)$).

FedeBosio (discusión) 14:13 5 ene 2015 (UTC)

$-1=-(1)^{2}=(-1)^{2}=1$ ?--Marianov (discusión) 16:13 6 ene 2015 (UTC)

Claramente del paso 2 al 3 hay un error, pero yo no lo cometí.
En el límite yo multipliqué y dividí por -1 que SÍ es igual a 1 ${\frac {-1}{-1}}=1$. Entonces sacás sólo uno de los -1 del límite puesto que es una constante entonces el límite queda así $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=-\lim _{x\to c}[-f(x)]^{g(x)}$ y ahora sí vale el truco de los logaritmos puesto que $-f(x)>0$ por ser la función negativa...
espero que se entienda un poco más. FedeBosio (discusión) 19:44 6 ene 2015 (UTC)

$1=(-1)(-1)1^{2}=(-1)(-1)^{2}=(-1)1=-1$--Marianov (discusión) 19:40 7 ene 2015 (UTC)

Hay un error del paso 2 al 3, comenzando desde la izquierda... $1^{2}=1\Rightarrow (-1)(-1)1^{2}=(-1)(-1)1=(-1)(-1)\neq (-1)(-1)^{2}$ puesto que $(-1)^{2}=1$. ¿Esto tiene que ver con la prueba de que $0^{\infty }$ no es indeterminado? Si es así, no veo la relación. FedeBosio (discusión) 02:28 8 ene 2015 (UTC)

¿Es cierto que $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=-\lim _{x\to c}[-f(x)]^{g(x)}$ o simplemente que $\lim _{x\to c}f(x)^{2}=-\lim _{x\to c}[-f(x)]^{2}$?, ¿hay algún teorema que permite introducir signos en la base de una potencia de este modo?. Si no hay referencia que mencione $0^{\infty }$ como indeterminado, simplemente se omite para no estarse cuestinando valores intempestivamente y acabar redactado una tesis propia.--Marianov (discusión) 15:01 8 ene 2015 (UTC

Claro es que no entendía la relación, ¡obviamente cometí un gigantesco error ahí! Ahora que lo pienso, es necesario suponer que $f(x)\geq 0$ para poder efectuar la operación de potencia con otra función $g(x)$ de otro modo, como $g(x)\in \mathbb {R}$, puede darse para algún a el caso que $f(a)=-1\land g(a)={\frac {1}{2}}\Rightarrow \not \exists f(a)^{g(a)}=(-1)^{\frac {1}{2}}$ (por lo menos para los reales...)
Pido mil disculpas por «caer» recién, lo que pasa es que, cuando es uno el que comete errores de este tipo, no es capaz de verlo. Agradezco que me hayas señalado, insistentemente, mi error, para así poder corregirlo.
RESUMEN FINAL: $0^{\infty }$ NO es indeterminación, en tanto se tome una base positiva, de otro modo, la operación sólo está definida para algunos puntos aislados y por lo tanto, no tiene sentido hablar de un límite.
Gracias y... ¿estás de acuerdo con esto último? FedeBosio (discusión) 02:40 9 ene 2015 (UTC)

A grosso modo es así, los puntos aparentemente aislados pueden jugar en contra, se tendría que consultar algún método del anasis compleja para acotar de algún modo pero eso se tiene que buscar y ... , por eso abundo en la reconmendación de usar referencias ya que son más fáciles de chequear y útil para limpiarse las manos sobre cuestiones existenciales.--Marianov (discusión) 12:21 9 ene 2015 (UTC)

Respuesta de respuesta

¡Entonces quedamos así! No creo que haga falta consultar bibliografía sobre análisis complejo ya que la definición de límite que estábamos discutiendo era sobre funciones reales, o eso supuse. De otro modo, no sé si es válido este «truco» o artificio del logaritmo, ya que cuando se considera variable compleja, el logaritmo tiene infinitas «ramas».... para más información, el que quiera, chequear Logaritmo complejo.

Gracias por ocuparte del artículo, creo que, entre todos, podemos mejorarlo y convertirlo en una buena guía de consulta, veraz y confiable.

Cordialmente, FedeBosio (discusión) 21:48 9 ene 2015 (UTC)

Falta

la otra definición formal de límite de una función, en un punto de acumulación, debida al matemático alemán Heine, utilizando sucesiones convergentes. A ver si alguien la redacta, thanks.--X2y3 (discusión) 17:03 26 jul 2015 (UTC)

Hecho

Incluí un apartado con la definición de límite en términos de sucesiones... por supuesto que está abierta a correcciones. No la incluí como «definición de Heine» porque en realidad se atribuye a Heine la definición de continuidad de una función por sucesiones,que si bien está relacionado con el límite, no es lo mismo. Ante la duda consultar Sharma, J. N., Advanced Differential Calculus p. 150.

Queda además generalizar estas definiciones de límite a funciones reales de varias variables reales y funciones complejas, lo cual implicaría un cambio también en la introducción del artículo

El límite de una función real de variable real es un concepto fundamental del análisis matemático[...]

Si estamos todos de acuerdo, agregamos las definiciones de límite para funciones escalares f: Rⁿ→R y complejas, y generalizamos la introducción del artículo para cubrir todos los casos.

Feliz navidad y año nuevo para todos. --fedeBosio. Pág. de discusión, mis contribuciones. 13:07 26 dic 2015 (UTC)